九连环解法(中国古环)

时间:2020-12-11 19:32:12来源:折扣网  阅读:(130)收藏
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九连环解法(中国古环)中国古环类益智玩具,其发源甚早,可追溯到2000多年前的春 秋战国时期.据《战国策-齐策六》记载,秦曾遣使携“玉连环”赴齐,对王后说: “齐多知,而解此环不?”君王后以示群臣,群臣不知解,君王后随引椎椎破之,谢秦王使曰:“谨以解矣.”

九连环解法(中国古环)中国古环类益智玩具,其发源甚早,可追溯到2000多年前的春 秋战国时期.据《战国策-齐策六》记载,秦曾遣使携“玉连环”赴齐,对王后说: “齐多知,而解此环不?”君王后以示群臣,群臣不知解,君王后随引椎椎破之,谢秦王使曰:“谨以解矣.”

 

九连环解法(中国古环)

 

北宋著名词人周邦彦在《商调·解连环·春景》一词中,有“信妙手,能解连环”之句.据《西湖老人繁盛录》中记载,南宋时,都城临安(今杭州)集市上,有出售“解玉板之类”的玩具者.民间有俗语云“解不开的歧中易,卸不下的九连环。”

元代杂剧作家郑德辉,以《战国策》中九连环的故事为素材,创作了杂剧《丑齐后无盐破连环》.在剧中,无盐姑娘以其过人的聪明才智,轻易地拆解了玉连环.待到明代,此玩具已相当普及.明代杨慎在《丹铅总录》中说:“九连环之制,玉人之功者为之,两环互相贯为一,得其关振,解之为二,又合 而为一.今有此器,谓之九连环,以铜铁为之,以代玉,闺妇孩童以为玩具.”

到了清代,流传更广,《红楼梦》第七回里写了黛玉、宝玉等玩九连环的事.乾隆年 间刻本曲谱《霓裳续谱》中,录有《九连环》小曲:“有情人,送奴一把九连环,九呀九连环,十指纤纤解不开,拿把刀来割,割也割不开.”

16世纪,意大利人卡丹在其概率论著作《论赌博》中,描述了这种玩具.

下图1所示的是九连环.玩九连环的方法,就是把钗H从重重环扣中解脱出来或从解脱分离状态,装到重重环扣中去.当玩起来时,九连环主要是操作诸环,使它们在钗上穿套运动.歧中易可看作是九连环的变体,主要是操纵钗,在环中穿来套去.

 


九连环图1

进一步的变体有汉字益智环, 如鼎环等.寿环,还有孔明锁、韩湘子花篮、关公进城,蝴蝶对头飞,蛇环等。

可是,“正宗”的文献,除了只言片语之外,对这些形制精巧、拆解困 难的玩意,却很少详记,它只能像民歌、民间算题、一掌金算法、风筝、剪纸等一样 流布民间.

古环艺人,历朝历代都有.有一次游庐山,见一老人边做边卖“韩湘子花篮”, 见者无不抢购.20世纪以来,中国古环领域出现了一股从制作探索到学术研究的可喜 潮流.20世纪末,北京玩具协会还成立了一个“智力玩具小组”,致力对这类玩具的 研究和开发.

在英国皇家学会会员、科学史家李约瑟(Joseph Needham)的名著《中国科学技术史》的第三卷的249页上说“例如,拓扑学上的’中国九连环之谜’(它可能是从算 盘演变出来的),最初见于卡丹(Cardan)的著作,后来华立斯为它提供了详细的数学 说明,格罗斯在19世纪应用二进制计数法,给了它以最优美的数学解答,这种玩具在 中国普遍称为’连环圈’……”.

为了使大家能了解“连环拆装的数学模型”并加以对比,我们接下来介绍求解拆装)的直接方法和二进制解法.

 


九连环图2

1. 环1可以放下(即从钗上取下并从两梁间穿过放下)或套上(从下边穿过两梁间拿到上边套到钗上),而与其他环在钗上、钗下无关.

2. 号数为3, 4, 5,…的环放上或放下,当且仅当比其号数小1的环在钗上, 而所有其他号数小2及以上的环在钗下,与其他号数大的环在钗上、钗下无关.

3. 环2可与环1同时放上或放下,与其他环的位置无关.

抓住这三条性质,经过若干练习,就可以熟练地玩九连环了.

但是,拆下或装上九连环,至少要做多少个“动作”呢?

要算这“动作”的次数,可要用一点数学知识了.这里,我们介绍多莫里亚特的方法,自然,它很容易,只要玩熟了九连环,想着自己玩的过程,耐心地边 读边想即可.

我们称放上或放下一个环叫作“一着”.设共有n个环:编号依次为

n, n - 1, n - 2, n - 3, , ……, 3, 2, 1.

可以画图来表示(如下图):环在钗上,相应字母写在横线上方,环在钗下,相应字母写在横线下方.



能不能求出通项公式呢?

那不难.①式可以作为一个差分方程来求解,也可以用归纳一猜想证明的方法.我们试试后一种:

当n= 1, 2, 3, 4,…时,得:

1, 1, 4, 7, 16, 31, 64, 127, 256, 511,… ②

由此看岀,奇数项为2的n-1,偶数项为2的n-1再减1.

合并后有


显然U₁=U₂=1 ,即对n=1, 2成立.现假设对n=k,k+1,③式成立,那么,由①

式和归纳假设,有


即③式对n=k+ 2成立,因此,对一切自然数n成立.

按公式③,Un的值将随以的增加而迅速增加,成为即使日夜不停,也拆解不开的“百连环”.

 

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